Mathematica牛刀小试之感应电机数学模型推导

pat

三大数学软件Matlab\Mathematica\Maple中，后两者既具有Matlab强大的运算能力，又有Mathcad界面简洁，易于上手的特点，尤其是强大的符号运算功能，特别适用于公式推导，个人感觉比Mathcad更胜一筹。本文作者以Mathmatica软件为例，推导感应电机的数学模型及矢量控制坐标变换。Maple应该也可以作类似功能，由于作者接触较少，且时间久远，就不介绍了。

好了，下面言归正传，首先推导三相感应电机在ABC坐标系下的数学模型：
输入定子电流向量为：
i_s={i_A,i_B,i_C}//MatrixForm
按住Shift+Enter，则将以矩阵的形式给出定子电流向量；
同样可输入转子电流向量：
i_r={i_a,i_b,i_c}//MatrixForm
将二者组合成一1*6的向量：
i=Join[{i_A,i_B,i_C},{i_a,i_b,i_c}]//MatrixForm
接着输入定子电感矩阵，转子电感矩阵和定转子间互感矩阵：
L_ss={{L_ms+L_sσ,-0.5L_ms,-0.5L_ms},{-0.5L_ms,L_ms+L_sσ,-0.5L_ms},{-0.5L_ms,-0.5L_ms,L_ms+L_sσ}}//MatrixForm
L_rr={{L_ms+L_rσ,-0.5L_ms,-0.5L_ms},{-0.5L_ms,L_ms+L_rσ,-0.5L_ms},{-0.5L_ms,-0.5L_ms,L_ms+L_rσ}}//MatrixForm
L_sr=L_ms {{Cos[θ],Cos[θ+2 π⁄3],Cos[θ-2 π⁄3]},{Cos[θ-2 π⁄3],Cos[θ],Cos[θ+2 π⁄3]},{Cos[θ+2 π⁄3],Cos[θ-2 π⁄3],Cos[θ]}}//MatrixForm
转、定子互感为上式的转置形式：
L_rs=Transpose[L_sr]
则总的电感为：
L=Join[{{L_ms+L_sσ,-0.5L_ms,-0.5L_ms,L_ms Cos[θ],L_ms Cos[θ+2 π⁄3],L_ms Cos[θ-2 π⁄3]},{-0.5L_ms,L_ms+L_sσ,-0.5L_ms,L_ms Cos[θ-2 π⁄3],L_ms Cos[θ],L_ms Cos[θ+2 π⁄3]},{-0.5L_ms,-0.5L_ms,L_ms+L_sσ,L_ms Cos[θ+2 π⁄3],L_ms Cos[θ-2 π⁄3],L_ms Cos[θ]},{L_ms Cos[θ],L_ms Cos[θ-2 π⁄3],L_ms Cos[θ+2 π⁄3],L_ms+L_rσ,-0.5L_ms,-0.5L_ms},{L_ms Cos[θ+2 π⁄3],L_ms Cos[θ],L_ms Cos[θ-2 π⁄3],-0.5L_ms,L_ms+L_rσ,-0.5L_ms},{L_ms Cos[θ-2 π⁄3],L_ms Cos[θ+2 π⁄3],L_ms Cos[θ],-0.5L_ms,-0.5L_ms,L_ms+L_rσ}}]//MatrixForm
看上去较乱，其实矩阵表达形式很简洁，可参见附件。

根据机电能量转换公式可知，如果认为电机为线性化系统，忽略各种损耗，电机内部磁功能为：
1/2*Transpose.L.i
即为：
W=1/2(■(i_A&i_B&i_C&i_a&i_b&i_c )).(■(L_ms+L_sσ&-0.5L_ms&-0.5L_ms&Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms@-0.5L_ms&L_ms+L_sσ&-0.5L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms&Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms@-0.5L_ms&-0.5L_ms&L_ms+L_sσ&-Sin[π/6+θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms&Cos[θ]L_ms@Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms&L_ms+L_rσ&-0.5L_ms&-0.5L_ms@-Sin[π/6+θ]L_ms&Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms&-0.5L_ms&L_ms+L_rσ&-0.5L_ms@-Sin[π/6-θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms&Cos[θ]L_ms&-0.5L_ms&-0.5L_ms&L_ms+L_rσ )).("⁠" █(i_A@i_B@i_C@i_a@i_b@i_c )"⁠")
假设转子机械转角为θ_m=θ⁄p_n ，则将上式对θ_m求偏导，即可算得电磁转矩为：
T_e=p_n D[W,θ]//Simplify={0.5(-2.Sin[θ]i_b i_B-2.Cos[π/6+θ]i_B i_c+i_A (-2.Cos[π/6+θ]i_b+(1.7320508075688772Cos[θ]+1.Sin[θ])i_c)+2.Cos[1/6(π-6θ)]i_b i_C-2.Sin[θ]i_c i_C+i_a (-2.Sin[θ]i_A+(1.7320508075688772Cos[θ]+1.Sin[θ])i_B-2.Cos[π/6+θ]i_C))L_ms p_n}
其中的1.732...是根号3，仔细观察可看出结果跟陈伯时书中电机数学模型中电磁转矩公式一致。

pat

以上为三相坐标系下推导所得电机的电磁转矩，下面通过坐标变换实现解耦简化：
三相坐标变成两相静止坐标的转换矩阵为：
C_s3s2=√(2/3)(■(1&-1/2&-1/2@0&√3/2&-√3/2@1/√2&1/√2&1/√2))//MatrixForm
两相静止到两相旋转坐标变换为：
C_s2r2=(■(Cos[φ]&Sin[φ]&0@-Sin[φ]&Cos[φ]&0@0&0&1))//MatrixForm
则有直接从三相静止~两相旋转的坐标变换公式：
C_s3r2=C_s2r2.C_s3s2//TrigFactor//MatrixForm
相反的变换有：
C_s2s3=Transpose[C_s3s2
C_r2s2=Transpose[C_s2r2]
C_r2s3=Transpose[C_s3r2]
则分别将电感矩阵中的分块矩阵变换到2相静止坐标系下：
A=C_s3r2.L_ss.C_r2s3//TrigExpand//MatrixForm
B=(■(√(2/3) Cos[φ]&-√(2/3) Sin[π/6-φ]&-√(2/3) Sin[π/6+φ]@-√(2/3) Sin[φ]&√(2/3) Cos[π/6-φ]&-√(2/3) Cos[π/6+φ]@1/√3&1/√3&1/√3)).(■(Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms@-Sin[π/6-θ]L_ms&Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms@-Sin[π/6+θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms&Cos[θ]L_ms )).(■(√(2/3) Cos[φ-θ]&-√(2/3) Sin[φ-θ]&1/√3@-√(2/3) Sin[π/6-φ+θ]&√(2/3) Cos[π/6-φ+θ]&1/√3@-√(2/3) Sin[π/6+φ-θ]&-√(2/3) Cos[π/6+φ-θ]&1/√3))//Simplify//MatrixForm
C=(■(√(2/3) Cos[φ-θ]&-√(2/3) Sin[π/6-φ+θ]&-√(2/3) Sin[π/6+φ-θ]@-√(2/3) Sin[φ-θ]&√(2/3) Cos[π/6-φ+θ]&-√(2/3) Cos[π/6+φ-θ]@1/√3&1/√3&1/√3)).(■(Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms@-Sin[π/6+θ]L_ms&Cos[θ]L_ms&-Sin[π/6-θ]L_ms@-Sin[π/6-θ]L_ms&-Sin[π/6+θ]L_ms&Cos[θ]L_ms )).(■(√(2/3) Cos[φ]&-√(2/3) Sin[φ]&1/√3@-√(2/3) Sin[π/6-φ]&√(2/3) Cos[π/6-φ]&1/√3@-√(2/3) Sin[π/6+φ]&-√(2/3) Cos[π/6+φ]&1/√3))//Simplify//MatrixForm
D=(■(√(2/3) Cos[φ-θ]&-√(2/3) Sin[π/6-φ+θ]&-√(2/3) Sin[π/6+φ-θ]@-√(2/3) Sin[φ-θ]&√(2/3) Cos[π/6-φ+θ]&-√(2/3) Cos[π/6+φ-θ]@1/√3&1/√3&1/√3)).(■(L_ms+L_rσ&-0.5L_ms&-0.5L_ms@-0.5L_ms&L_ms+L_rσ&-0.5L_ms@-0.5L_ms&-0.5L_ms&L_ms+L_rσ )).(■(√(2/3) Cos[φ-θ]&-√(2/3) Sin[φ-θ]&1/√3@-√(2/3) Sin[π/6-φ+θ]&√(2/3) Cos[π/6-φ+θ]&1/√3@-√(2/3) Sin[π/6+φ-θ]&-√(2/3) Cos[π/6+φ-θ]&1/√3))//TrigExpand//MatrixForm
计算结果可以看到，原来随转角θ变换的元素全部消失，结果变得非常简单：
A=(■(0." " +1.5L_ms+L_sσ&0.&0.@0.&0." " +1.5L_ms+L_sσ&0.@0&0.&0." " +L_sσ ))
B=C=(■((3L_ms)/2&0&0@0&(3L_ms)/2&0@0&0&0))
D=(■(0." " +1.5L_ms+L_rσ&0.&0.@0.&0." " +1.5L_ms+L_rσ&0.@0.&0.&0." " +L_rσ ))

pat

直接在网页上编辑太麻烦了，估计也没人能看下去，还是贴图片吧，同时把程序的pdf版奉上。







pdf附件：

pat

PS：未完待续~

liu889

好东西，谢谢！！！

zhaoranjun

精彩的分析  赫赫

laiyuan

牛刀牛人
学习了一下

zb280048797

非常好的教学贴，感谢LZ!

oscar

不是一般的牛，是神牛{:soso_e179:}

Kevis

赞一个{:soso_e179:}

darren007

大牛 啊，真的要虚心学习了

我心奔驰

好东西呀，谢谢楼主

西湖大同

学习了，好资料，谢谢楼主！

BD7NJD

赞一个，谢谢分享！！！！！

梦君箫城

pat楼主很是厉害呀！！学习了，谢谢

wangyi39

非常不错，真心 赞一个{:soso_e179:}

skyzl1987

顶起来，厉害顶起来，厉害顶起来，厉害

superligong

牛人啊太牛了  ，感谢

chiyanhu

不错，值得学习啊，我也按楼主的步骤自己做做看

西逝水

您好，请问您pdf中所述的感应电机转子电流如何在Maxwell中获得？