谈谈对电磁场算子方程的一点总结和认识

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谈谈对电磁场算子方程的一点总结和认识，算作抛砖引玉，相信会涌现出更多更精彩的分析与评论。forlink在此恳请大家多多回帖并发表意见，这是对原创帖子的极大鼓舞，再次拜谢。
       要理解算子方程，首先要理解的就是算子的概念。哈密尔顿微分算子▽，又称矢量微分算子，其定义式为▽＝（б/бx，б/бy，б/бz）。电磁场“三度”即梯度、旋度和散度均是藉此符号定义的。其与物理场（标量场或矢量场）作用规律满足矢量代数运算法则。下面结合“三度”具体说明。
       标量场的梯度定义式是▽Φ＝gradΦ＝（бΦ/бx，бΦ/бy，бΦ/бz），根据矢量代数运算法则，标量乘以矢量结果仍是矢量，因此标量场的梯度是矢量场；矢量场的旋度定义式为▽×T＝curlT＝矢量场，根据矢量代数运算法则，两个矢量叉乘仍是矢量，因此矢量场的旋度仍是矢量场；矢量场的散度定义式为▽•T＝divT＝标量场，根据矢量代数运算法则，两个矢量点乘是标量，因此矢量场的散度是标量场。
       数学家将哈密尔顿微分算子引入电磁学的初衷就是简化电磁场方程，便于同行交流。哈密尔顿微分算子的经典应用就是高斯定理和斯托克斯定理。高斯定理描述的是：任何矢量的法向分量对任何闭合曲面的积分，就等于该矢量的散度对该闭合曲面所包围成的体积的积分。用哈密尔顿微分算子表达就是：∮T•ds＝∫▽•TdV。斯托克斯定理描述的是：任何有向曲面上的曲面积分，就等于其边界曲线上的曲线积分。用哈密尔顿微分算子表达就是：
∮C•dl＝∫（▽×T）ds。
      下面分析哈密尔顿微分算子与物理场（标量场或矢量场）作用后的可能组合。
     （1）▽×（▽Φ） （2）▽•（▽Φ） （3）▽（▽•T）  （4）▽•（▽×T） （5）▽×（▽×T）
      根据矢量代数运算法则可以核实，以上是所有可能的组合。现在运用矢量代数运算法则对以上各个表达式进行分析，以帮助大家理解和记忆。
      根据矢量代数运算法则，A×（AΦ）＝（A×A）Φ＝0，因此表达式（1）的结果为零。再看看表达式（4），根据矢量代数运算法则，A•（A×B）＝0，因为A×B垂直于A，在A的方向上就没有A×B的分量，其点乘结果自然是零。表达式（1）和（4）等于零这个事实在物理学上有十分重要的应用。先谈谈表达式（1）的应用，如若某矢量场E的旋度为零，我们根据表达式（1），我们猜想这个矢量场E可能是某标量场Φ的梯度，换句话说如若▽×E＝0，则存在Φ，使得E＝▽Φ（事实上E＝－▽Φ亦可），大家至此可以看出这是静电场中场强E和电位Φ的关系！再看表达式（4）的应用，如若某矢量场B的散度等于零，我们根据表达式（4），很自然想到这个矢量场B可能是某矢量场A的旋度，换句话说如若▽•B＝0，则存在A，使得B＝▽×A，大家再一次欣喜地看到这是磁场中磁感应强度B和磁矢位A的关系！
      现在再来看其他几个表达式的意义。对于（2）式，运用矢量代数运算法则，
▽•（▽Φ）＝▽•▽Φ＝（▽•▽）Φ＝▽^2，现在出现了一个新的运算符▽^2，物理学家把它称为拉普拉斯算子，▽^2＝б^2/бx^2+б^2/бy^2+б^2/бz^2，很显然它是一个标量运算符。由于拉普拉斯算子是一个标量运算符，就可以用它来对矢量进行运算，这意味着对直角坐标系的每一个分量进行同种运算，▽^2T＝（▽^2Tx，▽^2Ty，▽^2Tz）。再分析（5）式，根据矢量代数运算法则A×（B×C）＝B（A•C）－（A•B）C，则（5）式便为▽×（▽×T）＝▽（▽•T）－（▽•▽）T＝▽（▽•T）－▽^2T。（3）式所描述的是一个矢量场，它只不过是偶尔会出现的一种矢量场，而且是数学运算中产生的，不是实际存在的物理场，不作过多讨论。
       最后谈谈电磁场方程的理解。描述电磁场的规律既可以用场量（电场强度E和磁感应强度B）微分方程，也可以用位（电标位Φ，磁矢位A，磁标位Φm）微分方程。场量微分方程物理概念明确，但却不便于求解计算。实际中使用的大都是位微分方程。电磁场位求得后，根据定义即可得出场量，继而求出能量、磁链和电感等。描述静电场的位方程为▽^2Φ＝－ρ/ε，描述恒磁场的位方程为▽^2A＝－μJ，他们分别为标量泊松方程和矢量泊松方程。对于无源区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程。描述涡流场（又称低频场、似稳场，其实质是忽略了位移电流对磁场的影响）的位方程为▽^2A＝μσ▽Φ＋μσбA/бt＝－μ（Jp＋Ji），式中第一项Jp为外加电流密度，第二项Ji为由涡流产生的电流密度。以上位方程的求解问题即是电磁场数值计算这们学科需要研究的内容。
       以上是个人学习和研究工作的一点理解和认识，希望能对从事电磁场理论分析与数值计算的朋友们有点帮助，如有不当之处还请同仁批评指正。

cychust

好文共欣赏。先来学习一下啊。呵呵。

renzando

总结的很好，forlink下了很大功夫的，大家学习借鉴

baizengcheng

纯理论讲座贴，比较少见。楼主如能连载将会更受欢迎。

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原帖由 baizengcheng 于 2008-10-11 22:43 发表

                               
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纯理论讲座贴，比较少见。楼主如能连载将会更受欢迎。

谢谢支持，有时间会继续发表拙见，请批评指正。

wangfei8261

讲解的很认真。支持楼主发表个人的心得。

hitsammi

正在恶补电磁场，看得很晕，抽象！

fiso215

恩..其实高等数学中有两个结论：梯度场是无旋场，旋度场是无源场。这是猜测E和B的场类型的依据。另外，在磁场问题中，求解区域无电流时才能用标量磁位，矢量磁位A则通用于有电流或无电流。

zluhai

毕竟是高手哈，学习中！！

y1949b

forlink兄 和fiso215的补充 都非常的精彩

但电磁场是非常难学的科目  

周围的很多人  把它学成了数学  一点点惋惜

因为自己理解的还不透彻 所以本打算结合电机 说些自己的理解  最后还是作罢了  但电磁场 是对电机 电磁方面的根本 学工程的人 要从工程的角度看 不时单纯的公式推导

自己的一点理解 或许肤浅了！

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于版主，可以把自己对电机电磁场分析的心得在这个帖子里面继续写下去:loveliness:

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和大家共同探讨一下电磁场分析时什么时候采用二维，什么时候采用三维，欢迎拍砖。
        对所分析的电磁场问题，若可找到两个以上的平行平面，使得场的分布是相同的，则此电磁场问题可化为二维模型分析，否则就是三维模型分析。对于二维模型，如果满足轴对称条件，还可进一步简化模型。
        下面结合电机电磁场问题阐述。从电机电磁场分布区域来看，有气隙磁场、端部磁场、铁心磁场、电枢导线涡流场等。对于气隙磁场，若不考虑端部效应，由于存在两个以上的平面使得场的分布是相同的，故可化为二维模型分析。当然，如果考虑端部效应，则必须使用三维模型求解；对于端部磁场，由于不存在两个以上的平面使得场的分布是相同的，故端部磁场计算一般是采用三维模型。对于一般的交直流电机，铁心磁场是可以化为二维模型分析。电枢导线中的涡流场分析也是采用二维模型分析。

[ 本帖最后由 forlink 于 2008-10-15 21:35 编辑 ]

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下面对有限元法的核心思想阐述一下，是本人的理解和总结，欢迎拍砖。
       有限元法的核心就是引入了子域基函数的概念，又称为形状函数。在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。所谓试探函数，就是求解函数的一个逼近。采用子域基函数有两个好处，一是全域上的基函数比较难找，二是子域基函数易于编程实现。
        既然子域基函数又称为形状函数，那么它一定是与子域的形状有关系的。对于一维问题，子域基函数＝∑节点函数值×节点函数值所占长度比重/子域总长度；对于二维问题，子域基函数＝∑节点函数值×节点函数值所占面积比重/子域总面积；对于三维问题，子域基函数＝∑节点函数值×节点函数值所占体积比重/子域总体积。这里的子域基函数采用的基本思想实际上是插值的概念，故又称为子域插值基函数。还要说明一点，这里所说的子域，就是求解区域经过网格剖分后的有限元小格。

haiwin

正在研究这方面的问题，非常值得借鉴！

fiso215

二维简化时仅找到两个以上平面恐怕不行吧。。。判断了场沿轴向各个平面的分布都相同才行吧。。比如电机的端部磁场分布

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原帖由 fiso215 于 2008-10-15 21:02 发表

                               
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二维简化时仅找到两个以上平面恐怕不行吧。。。判断了场沿轴向各个平面的分布都相同才行吧。。比如电机的端部磁场分布

是两个平行平面

fiso215

还记得当年在学高数的时候，课本里当介绍哈密顿算子的时候说了这么一句话：多么美妙和谐的算子啊。在一本严肃的学术书籍里出现这样的话，可见作者对它的偏爱。

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搞电磁场的人对算子都是有深厚感情的:handshake

fiso215

看了forink版主的对哈密顿算子的心得分享，不禁对自己只知道从论坛索取东西而不知道奉献东西感到万分羞愧。惟有献丑，与大家分享一下对麦克斯韦方程组的理解。欢迎大家踊跃拍砖。
麦克斯韦方程组，是电磁场理论的基础。也是研究电机电磁场的基础。这句话听老师说过无数遍，但只有真正的了解了它的含义，才能体会到它在电磁学中举足轻重的地位。顺便对麦克斯韦他老人家的脑袋感到万分敬仰，记得当年对麦氏方程组百思不得其解的时候，我便用这样一句话来鞭策自己：人家麦老先生能想出来的东西，叫你去学都学不会，更何况你还比人家晚生了150多年捏，从生理学角度讲，大脑结构怎么说也进步了吧？…..跑题了，下面进入主题。
先来看第一个方程，
微分形式：▽•D=ρ  即divD=ρ.
积分形式：∮sD•dS=q=∫vρdV
这里div和▽•的意思都是表示散度。具体的用哈密顿算子来代替一些高等数学中的度的概念的方法请见forink版主的帖子，说的灰常好了。这里只要你记住：▽点乘表示量的散度；叉乘表示量的旋度，即rot；直接乘表示量的梯度，即grad就可以了。
      要弄明白麦氏方程组，有个小技巧。就是先看方程两边是什么形式的物理量。简单地说，就是看方程左右两边是电的量还是磁的量。什么？你说电和磁不是不分家吗？我们先让他们暂时分开一会成不？   
       第一个方程是什么意思捏？且听我道来。（其中D是指电位移，ρ是电荷密度。）
   你先看方程的左边，是啥？电位移，是电的量吧。您先别管它的散度或者对面积的积分是什么意思。右边是啥？电荷密度！！积分形式则是电量。（电量可以写成电荷密度的体积分。密度体积分是质量知道吧？那电荷密度体积分就是电量。通俗的说，就是把一点一点的电荷加一起，不就是总的电量了吗。）
现在知道了，这个方程描述的是电和电的关系，与磁暂时选择性无关。D是描述啥的量？电场啊！q是啥，电荷啊！电场通过一定的换算（散度）和电荷扯上了关系，这说明什么？？
这当然说明电场是由电荷激发形成的！而且电荷可以为正或为负！也就是说，电荷可以存在单独的电性。
看到这，也许你要说了，变化磁场不是能激发感应电场吗？没错。但方程右边为何没体现出来呢？原因且听我道来：感应电场就其根本来说，是涡旋场，电位移线是闭合的，看到闭合的三个字你想到了什么？对，闭合就决定了电位移线对封闭曲线的通量没有贡献，或者说贡献为0.所以积分就是0啊，这项就没写出来。这个方程也说明了电位是有源场。咋看出来的，q啊！
第二个方程：
divB=0
∮sBdS=0
哇，这个方程的形式好简单啊。理解起来也很简单。
还是先看方程左边，是啥？B是磁感应强度啊，磁的量。右边是啥？人见人爱的0啊。
啥意思捏？为啥B在闭合曲面的积分是零呢？因为磁通既穿入又穿出闭合曲面，一进一出不就抵消了吗。所以是0.这也就说明了磁通线是处处连续的，无头无尾。而微分形式中B的散度等于0，这说明什么呢，B是无源场啊。别问我为什么散度等于0就是无源场，高等数学里的概念。
还能从这个貌似简单，实际更简单的形式里挖掘出什么呢？那就是：回想前面的第一个方程，电荷可以单极性。那这里呢，磁场只能由一对磁偶极子激发（磁力线永远闭合），也就是说，磁单极子是不存在滴。反正现在还没找到，你找到了，你就NOBEL奖了。
还说明什么捏，其实磁场可以由传导电流激发，也可以由变化电场的位移电流激发，那为什么方程右边还是0呢？你仔细想想！！好好想想！！聪明的人从第一个方程那能得出结论了，对,它们都是涡旋场，对封闭曲面无贡献。
第三个方程。
rotE=-ЭB/Эt
左边是什么？电的量。右边呢，磁的量。电和磁的关系来了吧。
首先应该看出来的就是这个方程说明了变化的磁场产生电场。从哪看出变化的？对时间的偏导啊！也就是法拉第的电磁感应定律。
第四个方程
rotH=J+ЭD/Эt
左边是啥，磁场强度的旋度啊。右边呢，电流密度J，电位移D。
首先应该看出这个方程说明了电能生磁。其次呢，J我们知道了，是电流密度，确切的说，是传导电流的电流密度。那ЭD/Эt呢！！！
这里其实可以先这样考虑，既然ЭD/Эt能和J加在一起，那它们应该具有相同的量纲。那就可以把它考虑成某种电流密度。是什么电流的密度呢？位移电流。这其实就是麦克斯韦的位移电流假说。这就说明，不仅电流可以激发磁场，如方程中的J。而且呢，随时间变化的电场也能激发磁场。如：ЭD/Эt。这个方程本来是没有位移电流这项的，某天我们天才的麦老发现了在两极板电容中的一个错误，如果只有传导电流一项实在摆不平，怎么办呢，加一项假说的位移电流吧。要不怎么说人家是天才呢。说加就加，还成就了一个绝对天才的构想。
    先写到这，有新想法再加。欢迎大家讨论。

haiwin

有见地，感谢楼主分享！