电机设计常见问题解答专题（一）—电感

hahafu

在永磁电机的设计过程中，尤其是内置式永磁电机，无数的人深受电机电感计算的困扰，对其概念、作用、计算原理、计算方法、测试方法等模糊困惑。电机的基本电磁参数主要包括电阻、磁链等，经由电磁耦合关系，又衍生了各种电感、力矩系数、电势系数等众多参数。所有参数当中，难于准确计算和测量的参数公认的是磁链和各种电感参数，因为这两种参数直接受到结构尺寸、电磁耦合、材料非线性特性等的影响，在电机运行时随时间、空间变化。虽然学习电机很多年，也深受其困扰。本文是个人理解和总结，分享出来给大家，希望通过我们广大会员的共同努力把电感的问题清晰明确。另外关于电机绕组自感和互感的基本物理概念及二者之间的关系等，请参考西莫电子期刊第十三期的名家讲坛《同步电机的电抗参数及基于磁场仿真的数值计算方法》一文，本文不再赘述。本文旨在从电感、磁链、磁导率的定义及坐标变换成立的假设条件出发来说明电感的计算问题。

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1.电感的定义
电感的物理学定义为：单个线圈通以电流会产生磁场（磁通），我们将单个线圈通电后产生磁通的能力称为该线圈的自感。即：
L=λ/I  （1）
式中λ为磁链，I为电流。
但在电机中，由于存在非线性铁磁材料，有将电感参数区分为视在电感和增量电感的必要，因为增量电感参数是准确描述电机动态特性的关键参数。同时电感也是控制器设计需要的关键参数。根据法拉第电磁感应定律，线圈两端的反电势为

对于带铁心的螺线管而言，λ仅为i的函数，因此∂λ/∂i可以写成dλ/di，然而对于更一般的磁路，λ除了是电流i的函数之外还与磁路的组成有关，比如可能出现多个激磁线圈，或者多个铁心，因此λ是一个多变量而不是一个变量的函数，因此偏微分符号应该保留。如果磁路是线性的，则λ-i曲线便是一条直线，无论实际工作点位于何处，∂λ/∂i所得的值都为常数，即得到了物理学定义的电感式（1），此为视在电感。对于一般的磁路，由式（2）可知，电感的通用定义为：

由上式确定的电感，即所谓的增量电感，如图所示运行点O处，曲线λ-i上O的斜率即为O点的增量电感。显而易见，运行点的任何一点改变都需要重新计算L的值。而λ0/I0对于电机而言则为静止状态下的电感，可以称为静态电感或者视在电感，即电机三相电流为直流，转子静止状态下的电感。但是电机在实际运行时，三相电流激励以及转子位置均为变化的，所以动态电感才有意义。

根据上式的定义，我们即可以对以下三种情况进行分析：
1）.变压器：在正常工作时，电机的电流在时刻变化，但他不旋转，所以他磁路磁阻变化仅由电流引起，即磁链是电流的单一函数，所以增量电感公式可以变为dλ/di。假设工作电流较小时磁路工作在线性区，增量电感与视在电感相等，dλ/di是常数；但是当电流逐渐变大，磁路饱和，λ—i曲线拐弯，增量电感小于视在电感。
2）.表贴式永磁电机：我们假设他整个磁路磁阻不随转子位置变化，那么当电机运行过程中，每个位置的磁阻依然只跟电流有关系，增量电感公式仍然可以变为dλ/di。假设当电流比较小的时候，线性区域还是视在电感等于增量电感，但是当有的运行点电流比较大的时候，磁路饱和进入非线性区，dλ/di变小。
3）.IPM电机：此电机的定子绕组磁链由两个因素决定，一是转子位置变化引起磁路磁阻的变化，二是电流变化引起的磁阻变化，因此该类电机磁链是转子位置及电流的函数λ（θ，i（t）），增量电感的偏微分符号也应该保留。

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2.冻结磁导率技术
式（3）已经明确了增量电感的定义，从此公式可以看出，两种途径可以求解增量电感，一种通过di/dt方法，一种是通过磁链λ进行求解。因此需要考虑如何准确计算饱和状态下的磁链。
如何考虑磁场饱和的影响是当前电机设计中一个亟待解决的重要问题。近年来提出的冻结磁导率技术越来越多地被应用到电机负载电磁性能和参数计算中。研究表明，冻结磁导率技术可以用来精确分离各种电机负载状态下的电磁分量，如磁场、磁链、电感、转矩、转矩波动、反电势和端电压、弱磁性能以及径向力等均可以用冻结磁导率技术预测，并用来辅助电机及其驱动控制系统的设计。因此，冻结磁导率技术为高性能电机的研发提供了一个全新的方法。本文只用此技术进行磁链和电感的求解，其他方面不做阐述。下面我们从磁链的定义出发，解释一下冻结磁导率的必要性。
如果N匝线圈中通过的磁通均是Φ 的话，则磁链的定义为λ=NΦ。而垂直通过一个截面的磁力线总量称为该截面的磁通量。

一般电机或变压器铁心截面上的磁通密度（也叫磁感应强度）B是均匀分布的，且垂直于各截面，则Φ=BA。电流产生磁场，但电流在不同介质中产生的B是不同的，为了表征这种特性，将不同的磁介质用一个系数μ来考虑，μ称为介质磁导率，则B与μ的比值只与产生磁场的电流有关了，即B=μH。进而可以得出：
λ=NΦ=NBA=μNHA    （5）
铁磁材料的BH曲线如图2所示：

电机运行于负载点1时，铁心的磁导率为μall；当永磁体单独励磁产生磁链时电机运行于点2，铁心的磁导率为μPM；而当定子电枢电流单独励磁产生磁链时电机运行于点3，铁心的磁导率为μi。由图2可知，电机在负载点1时的磁通密度Ball=μall*Hall=μall*(HPM+Hi) =B(FP,PM)+B(FP,i)。可见Ball≠BPM+Bi，由此说明，电机负载点1的磁链不能线性的分解为2和3之和。即当电机负载磁路饱和时不能认为负载点的总磁链可以分解为永磁体单独励磁产生的磁链与定子电流单独励磁产生磁链两部分。因此在磁路饱和影响的情况下，若想准确计算出磁链，根据磁链定义需要准确的磁导率。而冻结磁导率的方法，能考虑磁场真实情况的同时，又将非线性场线性化。同时请大家注意，磁导率的定义并不是BH曲线的斜率，而是每一个点的割线斜率，所以冻结磁导率，仅仅是冻结了λ-i曲线上的一个点而已，比如将运行点1处的磁导率冻结之后，即μall被冻结了，则λ/I变为常数。

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3.电感的计算方法
电感的通用定义解释清楚后，下面说明一下电感的计算方法。一说到电机的电感，大家首先想到的就是电机的交直轴电感，论坛里面关于电机参数的计算问题，交直轴电感的计算永远排在榜首位置，这个热点问题从来不会因为时间的长短而过时。但换个角度思考，电机的交直轴电感是应用经典的电机学双反应理论分析方法转换而来的数学模型变量，并非实际存在的量，因此应该从实际的电机相绕组电感出发去，分析计算电感。

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3.1有限元计算电机相绕组电感的计算方法
随着计算机数值计算技术的进步，采用有限元法（FEM）计算电机电感参数成为了准确计算各种电机非线型电感参数的主要手段。小编主要使用的软件是Ansys maxwell，此软件比较高的版本，比如19，瞬态场已经可以选择计算三相绕组的增量和视在电感，同时注意早期的版本计算的都是视在电感。小编并不认识此软件的编程人员，但是咨询了其他软件的算法人员，以及查找此软件的帮助文件，大体对其计算原理有所了解。
有限元软件计算电机电感的原理为：
1.对每一个位置冻结磁导率，则此时的磁链仅与电流有关。并且冻结之后可以方便求取每相绕组的自感和互感，否则由于三相绕组同时施加电流激励，对于每一相绕组来说，自感和互感磁通难以区分。
2.以A相绕组为例，仅对A相绕组施加一个电流i，然后A相绕组匝链的磁链除以此电流即为A相绕组的视在自感，B相绕组匝链的磁链除以此电流即为AB绕组的视在互感。
如果上述第二步变为给A相绕组一个Δi，求取绕组两次磁链之差Δλ，用磁链之差Δλ除以电流之差Δi即为增量电感。则A相绕组匝链的磁链Δλa除以此Δi即为A相绕组的增量自感，B相绕组匝链的磁链Δλb除以此Δi即为AB绕组的增量互感。此种方法的原理应该与磁场储能的能量摄动方法计算电感的结果相同。
但是在此处有个疑问，不知是否走入了一个误区之中。对于本文第一节中提出的IPM电机，如果冻结磁导率，则仅能对每一个转子位置进行冻结，然后在这个转子位置上给一个电流扰动求解增量电感，给电流扰动的过程中，如果转子依然静止，那么仅仅考虑的是当前磁路组成由于电流变化引起的磁阻变换，如何考虑两次转子位置变换引起的磁阻变化呢？个人对此比较困惑，一是不知自己的思路是否正确，二是如果正确不知有限元是否考虑了。此疑问希望在未来能得到解答。当前状态下还是以有限元计算的结果为准。

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3.2理想电机的交直轴电感计算方法
电机理论中，所谓的交直轴电感、以及坐标变换和矩阵分析，是在做出很多假设的条件下才有的概念。具体可以参考交流电机动态分析等书籍，均有明确的解释。满足这些假设条件的电机称为“理想电机”。什么是理想电机？
1．磁路为线型，不计磁饱和、磁滞及涡流，因而可以利用叠加原理；
2．气隙磁场在空间按正弦分布，忽略磁场的高次谐波；
3．不计定、转子表面齿槽的影响，不考虑齿槽效应；
4．定子绕组为对称三相绕组，电机结构对直轴和交轴这两条轴线都是对称的。
理想电感的矩阵变换如下：

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在ABC坐标系中，绕组的自感和互感都包含一个平均值，另外还包含空间2次谐波项。互感的平均值为负值，且其绝对值约为自感平均值的一半（不计漏感的条件下）。理想电机中，自感和互感空间2次谐波的系数在数值上相等，这样才能通过坐标变换实现dq0坐标系下电感矩阵的对角化，也就是解耦且不时变，否则，即使做了Park变换和Clarke变换，电感矩阵仍然是耦合的（dq轴之间可以解耦，但与0轴不解耦），也是随转子位置改变而时变的。最后一个重要问题，就是自感和互感2次谐波项的系数Ls2和Ms2，其实这两个系数也有正负之分，在普通同步电机中，直轴磁阻小，系数为正，而在IPM永磁同步电机中，直轴磁阻大，系数也可为负！
此可见，对于表面式永磁同步电机而言，直接将自感平均值加上互感平均值（绝对值），就是交轴电感，也是直轴电感，完全用不着作2次矩阵乘法运算，因为此时空间2次谐波的系数Ls2和Ms2应该为零，也就是自感和互感为恒定值，此时，上述交直轴电感的数值应该很接进自感平均值的1.5倍！
而对于IPM永磁同步电机，假设有很强的凸极效应，则也用不着进行2次矩阵乘法运算，而是A相绕组与直轴对齐计算其自感最大值（Lmax），然后A相绕组轴线与交轴对齐，计算其自感最小值（Lmin），则两次计算得到的电感取平均值就是Ls0=0.5*（Lmax+Lmin），而两值之差的一半就是2次谐波的幅值Ls2=0.5*（Lmax-Lmin），然后根据公式直接得到交直轴电感的数值。（也可计算互感平均值及2次谐波的系数，2个计算位置考察BC相的互感即可）。
需要说明的是只有理想电机，其电感表达式才仅包含常数项和空间2次谐波项，因此才可以通过坐标变换进行解耦，使得时变的电感矩阵定常化！但是在有限元分析中，恰恰是迄今为止最不需要什么强制假设条件的数学模型，既考虑饱和，也容许非正弦，换句话说，有限元电机是“最不理想电机”，也是最实际电机。那么就需要思考：考虑饱和、凸极效应等情况下双反应理论是否还成立？是否还可以用坐标变换这种方法计算得到交直轴电感？这点在传统理论分析中还未见分析，目前也很少见到这方面的文献。因此用有限元方法来求解考虑饱和时的交直轴电感，还是值得商榷的

czvmkl

交直轴电感也可以测量的吧。

hahafu

由此可见，对于表面式永磁同步电机而言，直接将自感平均值加上互感平均值（绝对值），就是交轴电感，也是直轴电感，完全用不着作2次矩阵乘法运算，因为此时空间2次谐波的系数Ls2和Ms2应该为零，也就是自感和互感为恒定值，此时，上述交直轴电感的数值应该很接自感平均值的1.5倍！

hahafu

3.3饱和程度较小或空载情况下的交直轴电感计算
在实际生产过程中，经常需要测试整机空载的线电感，对于IPM电机而言，行业默认线电感最大值除以2是Lq，最小值除以2是Ld。而我们的电机工程师，包括我也经常比对设计的线电感的最值与测试的最值之间的差异，以判断设计的准确性。
首先判断以线电感最值除2来等效Ld和Lq是否正确。绕组电流很小时，电流形成的磁动势较弱，对电机固有的永磁磁链不能产生较大的增磁或去磁作用，因此，此时电机绕组的电感还保持着平均分量叠加二次波动分量的形式，这点与传统理论分析结果一致。所以上述的自感互感公式、以及矩阵变换依然成立。线电感
L（A-B）=LAA+LBB-2LAB         （6）
将上述的自感和互感公式带入式（6）得出
L（A-B）=3Ls0+3Ls2*cos2（θ+30°）    （7）
则线电感的最大值为3Ls0+3Ls2，最小值为3Ls0-3Ls2。可见线电感的最大值为Lq的2倍，最小值为Ld的2倍。即当IPM电机空载自感和互感保持着平均分量叠加二次波动分量的形式时，可以通过测量线电感而得到Ld和Lq。
那么我们如何计算此Ld和Lq或者线电感L（A-B）呢。在电感的定义中已经明确指出增量电感才是决定电机运行时的参数，因此应该计算电机的增量电感。
方法一，可以用Maxwell瞬态场计算空载情况下电机的三相绕组增量自感及互感，然后坐标变换得到Ld和Lq，或者根据式（6）计算出线电感用线电感最值除以2得到交直轴电感。
方法二根据式（3）增量电感的定义，瞬态场，转速设置为0，使转子静止，然后给AB绕组一个1V最大值、1000Hz的正弦电压激励，输入绕组AB线电阻，则AB绕组会产生一个正弦感应电流，根据RL等效电路，即可求出一个转子位置的增量电感，参数化转子位置角，即可得到随转子位置变化的电感曲线。
查了一下LCR数字电桥的测试方法，不清楚看的资料权威与否，小编觉得方法二与LCR数字电桥测试原理是一样的，测试与计算的均是电机绕组的增量电感。但是实际在测试时，高频电流的变化会引起铁心的磁滞和涡流损耗，不过电流很小，此涡流对于测试电感有多大影响，目前我对此没有查文献研究。但是经过测试验证，以上二种方法结果应该一致，并且与实测接近一致，满足工程计算精度。

hahafu

4.论坛中常见的计算方法解析
上文中已提到，用有限元方法来求解考虑饱和时的交直轴电感，还是值得商榷的！本节内容仅为了说明各种计算方法的原理及所计算内容的含义，不去追究他是否合理。
4.1冻结磁导率法计算交直轴电感。
冻结磁导率方法在我们论坛上是一个精华帖子，是我们论坛版主forlink给出的方法，请参见下面帖子。https://bbs.simol.cn/thread-76650-1-1.html。
根据前文的叙述，此方法比较好理解，首先计算额定工况下的饱和程度，然后冻结磁导率，然后通过磁链除以电流即可求出绕组的视在自感和互感，之后进行坐标变换求Ld和Lq。这种方法就是不考虑变换的假设条件是否成立，均进行坐标变换求交直轴。并且求出的是考虑饱和影响的视在电感。
4.2静态场有限元法计算交直轴电感。
此方法为，静态场计算，将永磁体d轴与A相轴线重合，先求出只有永磁体激励时A相绕组的磁链Ψf，然后给A相施加电流激励为Id，BC相分别为-0.5Id，求出此时A相绕组的磁链Ψd。则Ld=（Ψd-Ψf）/Id。同理q轴电感Lq=Ψq/Iq。
此种方法计算原理是假设磁路是线性的，认为负载点的总磁链可以分解为永磁体单独励磁产生的磁链与定子电流单独励磁产生磁链两部分。然后根据磁链法求出的电感，上文中已提出，此种方法在饱和程度较大时误差非常大，并且也没有考虑交直轴交叉饱合的影响。

hahafu

本文从电感的定义出发解释了各种计算方法的原理，但是比较遗憾的是本文并未提及控制算法中如何应用电机的电感。另外说了这么多貌似没有一个结论到底电机设计中该用哪个电感，个人调查下来，主要是在电机饱和时，大多数人用的还是视在电感，这个可能与控制算法有关系，我也不是十分清晰了，希望控制的高手可以给我们解惑。

东方笑笑生

个人先说下测试方法，电机不通电，LCR电桥接电机某两相引出线，手动旋转电机转子，记录电感的最大值Lmax,记录电机最小值Lmin，
Lq=Lmax/2;Ld=Lmin/2，计算方法，使用静态磁场，求解静态电感矩阵，经过3-2变换求解Ld,Lq;亲测误差还可以接受。有没有大神懂的还请大神们来指点下！

czvmkl

东方笑笑生 发表于 2018-7-29 21:37
个人先说下测试方法，电机不通电，LCR电桥接电机某两相引出线，手动旋转电机转子，记录电感的最大值Lmax,记 ...

取最值的一半这个公式适个表贴式磁钢转子吗？

东方笑笑生

czvmkl 发表于 2018-7-29 22:11
取最值的一半这个公式适个表贴式磁钢转子吗？

可以试一下，我计算的是IPM，至于SPM可以尝试下。下一步我也会计算，计算结果及时反馈下！

huanhuangui

最大值，最小值取一半应该也是个表贴的，我们这都是这样做的

东方笑笑生

huanhuangui 发表于 2018-7-30 08:14
最大值，最小值取一半应该也是个表贴的，我们这都是这样做的

我应用的在切向结构内置式永磁电机，效果还算行。所用的方法也是坛子里的，找下文章，待会付在下面。在Ansoft高版本中，也可以使用UDO插件进行计算。用插件计算和用静磁场计算结果差别不是很大。

上面有详细推导过程，请参考。

zengxiaodong

hahafu 发表于 2018-7-29 11:36
2.冻结磁导率技术
式（3）已经明确了增量电感的定义，从此公式可以看出，两种途径可以求解增量电感，一种 ...

“同时请大家注意，磁导率的定义并不是BH曲线的斜率，而是每一个点的割线斜率......”

真的是有这个可能，要看有关软件的算法，应该明确的一点是，如果冻结的不是“切向”磁导率，那么计算的结果应该是不够精确的，不过有限元中的“切向刚度矩阵”理应是指的切向磁导率，摄动分析中对于材料性质，也有“切向”的选项。

谁心锁玉

东方笑笑生 发表于 2018-7-29 21:37
个人先说下测试方法，电机不通电，LCR电桥接电机某两相引出线，手动旋转电机转子，记录电感的最大值Lmax,记 ...

不知道对不对，感觉这种方法浅显易懂，比较切合实际应用。

zengxiaodong

hahafu 发表于 2018-7-29 11:55
3.1有限元计算电机相绕组电感的计算方法
随着计算机数值计算技术的进步，采用有限元法（FEM）计算电机电感 ...

关于冻结磁导率计算增量电感，其实是在每一个特定位置（同时施加该位置对应的三相电流），计算此状态下的电磁场，就是所谓的“工作点”分析，计算完成以后，假设磁状态不变（冻结磁导率），进行电流扰动计算，此时是线性分析，因此扰动电流可以是任意值，增量磁能与扰动电流之比就是微分电感。这与转子转动不转动没有什么关系，二元函数L (i,THITA)表明，增量电感仅跟电流（三相）和位置有关。

第二个问题是用哪个电感？很清楚，视在电感根本就是不存在的一个物理量，当然不会是用这个电感啦。而微分电感是直接影响电路动态特性的物理量，实际有用的是微分电感，这是不容置疑的！然而，当磁路不太饱和时，视在电感与微分电感相差不大，就算磁路很饱和时，视在电感与增量电感误差百分之几百了，糊里糊涂用视在电感，大多数情况下也不会有什么不良后果。

大家对于电机控制有很大的误区，主要的问题是Clark变换，Park变换把人弄糊涂了，尤其是其中一大堆电感变来变去掩盖了电机工作的实质！换一个角度来说就明白了，完全不要去做三相两相坐标变换，编程搞过有限元计算的人很清楚，随着转子位置的不同，三相电流的大小和方向也要随之改变，这里面有一一对应的关系，这种对应关系就是所谓的“磁场定向”控制，所谓直轴电流为零，其实就是某相电流相位与该相反电势相位完全同相位（或者反相位，取决于电动还是发电状态）而已！按照这样的要求来跟踪控制三相的电流，就是矢量控制啊。

然而，实时跟踪控制两相（另一相不独立）波动的电流，其实并不是想象的那么容易的，经典控制理论对此不太成熟，而对于单变量“直流”控制却是驾轻就熟的，这就是三相两相变换的由来，很显然，在控制过程中重要的是矢量的大小和方向，大小通过反馈会自动调节，而方向就由位置编码器来确定，也就是说电感并不重要，实际起作用的是微分电感，但你非要用视在电感，问题也不大，被反馈系统给自动解决了，就像天然的抗扰性一样。在两相坐标系下面按照直流电机进行控制，但是实际的电机并非直流电机而是三相交流电机呀，所以弄了半天，还是要用Clark逆变换，Park逆变换再变回去！