科学瞎想系列之九十六 NVH那些事(5)
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上一期瞎想分析了径向力波的产生及其时空特性，并指出了可能引起强烈振动噪声的径向力波的三个特点。本期瞎想重点说说同步电机空载时的径向力波，具体分析一下同步电机空载时径向力波的大小、阶次和频率特征。
1 同步电机空载时的径向力波
1.1 空载时力波表达式
空载时，假设定子绕组中的电流为0（空载定子电流不为0时，按负载情况来分析，见下期），因此气隙磁场全部由转子励磁绕组或永磁体建立，其磁势为：
f(θ,t)=∑【μ】 Fμ•cos(μω•t-μθ)
=∑【μ】 Fμ•cos[(ω1•μ/p)•t-μ•θ]
⑴
式中：μ为转子磁势谐波的极对数，在这里我们以一对极为基波，μ也就是转子磁势谐波的次数或极对数，主波称为p次谐波，μ=(2r+1)p；r=0、1、2、3…。上述磁势表达式已经考虑了转子磁极的凸极性。
转子磁势作用于气隙磁导时产生空载气隙磁密，由于上述转子磁势表达式⑴已经考虑了转子磁极的凸极性，因此分析气隙磁导时只需考虑定子开槽的影响即可。气隙的磁导波的傅立叶展开式为：
λ(θ,t)=Λ0+∑【k=1~∞】Λk•cos(k•Z1•θ)
⑵
式中：k=0、1、2、3…
气隙磁密为转子磁势与气隙磁导波的乘积，即转子磁势与气隙磁导波的调制，气隙磁密为：
b(θ,t)=f(θ,t)•λ(θ,t)
=∑【μ】 Fμ•cos[(ω1•μ/p)•t-μθ]•[Λ0+∑【k=1~∞】Λk•cos(kZ1θ)]
=∑【μ】 Bμ•Λ0*cos[(ω1•μ/p)•t-μθ]+∑【μ】•∑【k=1~∞】(-1)^(k+1)•1/2•Bμ•Λk*•cos[(ω1•μ/p)•t-(μ±kZ1)θ]
⑶
式中：Bμ为气隙均匀且气隙长度为δ时的μ次谐波气隙磁密；Λ0*、Λk*分别为气隙平均比磁导和k次谐波比磁导。
Bμ=μ0•Fμ/δ=(p/μ)•|sin[(μ/p)•(απ/2)]/sin(απ/2)|•B1；
Λ0*=1/Kc；
Λk*=[(Kc-1)/Kc]•｜/｜；
α=bp/τ，即为有效极弧长度与极距之比，也称极弧系数。
根据麦克斯韦应力张量，径向力波为：
经过这一波数学推导估计有许多宝宝懵圈了吧？告诉你这还是经过了一定的简化得到的结果，看到⑷式中那个约等于号了吗？在这个式子中略去了不随时间变化，只产生静变形，不产生振动噪声的恒定力波分量，只留下了能够引起振动噪声的交变分量。
1.2 空载径向力波的大小
关于那些繁琐的数学推导看不懂没关系，接下来才是重点。⑷式看起来很复杂，其实也很简单，听老师慢慢讲来。这个径向力波表达式包括五项，从大小来看，其幅值分别为：
① (Bμ•Λ0*)2/4μ0
② (Bμ1•Λ0*)•(Bμ2•Λ0*)/2μ0
(μ2＞μ1)
③ (Bμ•Λk*)2/16μ0
④ (Bμ1•Λk1*)•(Bμ2•Λk2*)/8μ0
(μ2＞μ1，k2＞k1)
⑤ (Bμ1•Λ0*)•(Bμ2•Λk*)/4μ0
从这五项的下标可以清楚地看出各项力波的来源，分三大类：一类是定、转子磁场自身同次谐波单独产生的力波，如上述①、③就属于这一类；二是定、转子磁场自身不同次谐波联合调制作用产生的力波，如上述②、⑤就属于这一类；三是定、转子磁场谐波之间相互作用产生的力波，如上述④就属于这一类。
1.3 空载径向力波的频率及时间阶次
由⑷式可见，空载径向力波的频率有两类，一是角频率为2μω1/p；二是角频率为(μ2±μ1)ω1/p。注意：μ=(2r+1)p，r=0、1、2、3…。因此有以下三类：
① 2μω1/p=2ω1•(2r+1)
其中：r=0、1、2、3…
② (μ2+μ1)ω1/p
=2(r1+r2+1)ω1
=2ω1•r3
其中：r3=1、2、3…
③ (μ2+μ1)ω1/p
=2(r2-r1)ω1
=2ω1•r4
其中：r4=0、1、2、3…
综上所述，同步电机空载径向力波的频率为二倍电源频率的整数倍，即：
f=2r•f1 ⑸
式中：f1为电源频率；r=1、2、3…
相应地，同步电机空载运行时由径向力波引起的振动频率也是二倍电源频率的整数倍。相对于转子的转频，径向力波的频率为转子转频的2rp倍，即：径向力波相对于转子转频的时间阶次为2rp阶，也就是说，转子每转一圈的振动次数为极数的整数倍。
1.4 空载径向力波的空间阶次
同步电机空载径向力波的空间阶次为⑷式的五项和式中θ前面的系数。即：
① 2μ
② μ2±μ1
③ 2(μ±kZ1)
④ (μ2±μ1)±(k2±k1)Z1
⑤ (μ2±μ1)±kZ1
可见同步电机空载时径向力波的阶次非常丰富，是一系列与转子磁场谐波次数、定子槽数有关的阶次。
2 空载径向力波的三要素汇总
以上分析了同步电机空载运行时径向力波的幅值、阶次(力型)和频率，这三个时空特征量与电机的电磁振动密切相关，因此也称这三个特征量为径向力波的三要素。在分析电机的电磁振动时，不能孤立地分析三要素中某一个特征量，而是要把三个要素联系起来综合分析，特别是阶次和频率，当力波的阶次和频率与结构的振型阶次和频率一致时，就会产生强烈的共振，因此必须把各种径向力波的幅值、阶次和频率对应起来分析。表1列出了同步电机空载运行时各种径向力波的三要素。
3 可能引起强烈振动的力波
根据上一期所述的可能引起电机强烈振动的力波特点，同步电机空载时需重点关注的径向力波有如下两种：
3.1 频率为2f1的力波
表1中，当r=0或r2-r1=1时，会出现频率为2f1的力波，这是要特别引起我们足够重视的力波。特别是值得一提的是，表中的a项力波，当r=1时对应的是主波磁场引起的径向力波。由于主波磁场是电机的工作磁场，通常磁场的幅值最大，其大小为B1•Λ0*≈Bδ，产生的径向力波幅值也最大，其力波幅值为：
P2p=(B1•Λ0*)2/(4μ0)
=Bδ2/4μ0 ⑹
该力波的频率为2f1，力波的空间阶次为2p。对于中小型电机，由于机座和定子铁心的刚度较大，固有频率较高，这种力波通常在振动噪声方面不会引起太大的麻烦，但对于大型电机就不同了。对于大型汽轮发电机，由于极对数p=1，阶次最低（为2阶），极易引起强烈的振动噪声；对于大型的水轮发电机，虽然极对数较多，但由于直径很大，刚度较差，也容易引起强烈的振动噪声。类似情况在国内外的大型电机中都曾发生过，大型汽轮发电机和水轮发电机中，防止二倍电网频率的电磁振动是一个重要的研究课题。由于引起二倍电网频率电磁振动的主要原因是主波磁场，而主波磁场是工作磁场，不能用削弱磁场幅值的办法来减小激振力，因此解决这个问题通常是采用调整定子铁心和机座之间的筋板，改变定子刚度的办法来抑制二倍电网频率的电磁振动。
3.2 转子谐波磁场与定子齿谐波相互作用产生的径向力波
此类力波很多，但我们重点考虑的是那些幅值较大、阶次较低的力波。实践表明，空载时转子主极磁场μ次谐波(极对数为μ，频率为μ•ω1/p)与转子主波引起的一阶齿谐波(极对数为p±Z1，频率为ω1)相互作用是引起空载电磁振动噪声的主要根源。
我们先看这两个磁场，转子主极磁场为⑶式中的第一项和式，即：
bμ=∑【μ】 Bμ•Λ0*cos[(ω1•μ/p)•t-μθ] ⑺
转子磁场中主波磁场(μ=p)对应的一阶齿谐波磁场(k=1)为⑶式中的第二项和式(令μ=p，k=1)：
bΛz=(1/2)•B1•Λ1*•cos[(ω1•t-(p±Z1)θ]
=BΛz•cos[(ω1•t-(p±Z1)θ] ⑻
其中：BΛz=(1/2)•B1•Λ1*
二者相互作用产生的径向力波为⑷式中最后一项和式(令μ2=μ，μ1=p，k=1)：
pn=(1/2μ0)•∑【μ】(1/2)• (Bμ•B1•Λ0*•Λ1*)•cos｛[(μ±p)ω1/p]•t-[(μ±p)±Z1]•θ｝
=∑【μ】(1/2μ0)• (Bμ•BΛz•Λ0*)•cos｛[(μ±p)ω1/p]•t-[(μ±p)±Z1]•θ｝
=∑【μ】PμΛz•cos｛[(μ±p)ω1/p]•t-[(μ±p)±Z1]•θ｝
⑼
径向力波的幅值：
PμΛz=(Bμ•BΛz•Λ0*)/(2μ0) ⑽
径向力波的阶次：
n=(μ±p)±Z1=(2r+1)p±(p±Z1) (11)
r=0、1、2、3…
当r=0时的n表示转子主波磁场与一阶齿谐波相互作用所产生的力波阶次。其频率为：
f=(μ±p)f1/p=[(2r+1)±1]•f1 (12)
r=0、1、2、3…
知道了上述力波的三要素，接下来我们就重点分析那些是幅值较大、阶次较低容易引起起来电磁振动噪声的力波。
先说阶次，由(11)式可见上述力波阶次为(2r+1)p±(p±Z1)。两个“±”中同时取“+”或同时取“-”时，得到两个力波，阶次分别为：n=(2r+1)p+(p+Z1)和n=(2r+1)p-(p-Z1)的力波，显然这两个力波阶次很高，可以不予考虑。两个“±”中一个取“+”，另一个取“-”时，又可得到两个力波，一个阶次为：
n=(2r+1)p+(p-Z1)=2(r+1)p-Z1
其频率为：
f=[(2r+1)+1]•f1=2(r+1)•f1
另一个阶次为：
n=(2r+1)p-(p+Z1)=2rp-Z1
其频率为：
f=[(2r+1)-1]•f1=2r•f1。
显然这两个力波的阶次：2(r+1)p-Z1和2rp-Z1都可能较低，当2(r+1)p或2rp接近Z1时，其阶次最低，更容易引起强烈的电磁振动，是需要重点规避的力波。也就是说，当r(或r+1)与Z1/2p(每极槽数)最接近时，所产生的力波最容易引起同步电机空载的电磁振动和噪声。当同步电机的每极槽数为整数时，将会出现时而收缩时而扩张的0阶力波，即所谓的“呼吸”力波。
本期瞎想，重点分析了同步电机空载运行时产生的径向力波，给出了同步电机空载径向力波的三要素，并分析了可能引起强烈电磁振动噪声的力波特征。需要特别强调的是：本期瞎想只适用于同步电机空载！空载！空载！同步电机负载时，还会出现一些新的径向力波，我们下期瞎想再重点介绍，敬请期待！
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