科学瞎想系列之八十二 永磁电机(5)
龙行天下 标准答案 李保来龙行天下CSIEM今天
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前面两期讲了永磁发电机和永磁电动机并网运行，今天讲讲永磁发电机独立运行，也就是永磁发电机用原动机恒速拖动，不并网直接与独立负载连接，由于永磁电机没有励磁装置，所以系统比较简单，多用于要求不太高的移动应急发电机组。由于永磁电机励磁不可调，因此这种情况下的输出电压、电流以及功率因数也不可控，完全取决于永磁电机本身的固有参数和负载。老规矩，本期讨论的问题见例题。
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例题3 永磁同步发电机的独立运行
已知：永磁同步发电机的固有参数E0、Xd、Xq，忽略绕组电阻；原动机的转速n恒定；负载的电阻R、电抗X。
求：①发电机的输出端电压U、电流I、功率因数cosφ以及这些物理量随负载R、X变化而变化的规律；
②发电机输出电压的稳态调整率ΔU；
③发电机的最大输出功率Pmax。
解：
1 任意永磁电机带任意阻抗负载
由于发电机带独立负载，因此输出的功率因数完全取决于负载参数R和X。
tanφ=X/R (1)
功率因数：
cosφ=R/(R2+X2)½ (2)
发电机带独立负载运行时的相量图如图1所示。
由图可见，发电机的内功率因数角正切值：
tanγ=I(Xq+X)/IR=(Xq+X)/R (3)
功角θ=γ－φ。
由tanγ=Id/Iq=(Xq+X)/R 得：
Id=Iq•(Xq+X)/R (4)
由相量图还可得出：
IqXq/(E0－IdXd)=tanθ=tan(γ－φ)(5)
由三角函数公式得：
tan(γ－φ)=(tanγ－tanφ)/(1+tanγtanφ)
=RXq/(Z2+XXq) (6)
其中：Z=(R2+X2)½为负载阻抗。
将式(4)、(6)代入(5)式并整理后得：
Iq=E0•R/ (7)
Id=E0•(X+Xq)/ (8)
总电流：
I=(Id2+Iq2)½=
E0½/
(9)
端电压：
U=I•Z
=E0•Z•½/
(10)
负载时的稳态电压调整率：
ΔU=(E0－U)/E0
=1－Z½/ (11)
以上推导是基于内嵌式永磁同步发电机，所带负载也是常见的既有电阻也有电抗的负载而进行的，因此所得到的结果具有普遍性，适用于各种类型的永磁同步发电机和各类负载情况。由式(9)、(10)、(11)可见，永磁同步发电机独立运行时的电压、电流以及稳态电压调整率即取决于电机的固有参数，也取决于负载的参数；功率因数只取决于负载参数！这些结果看起来非常复杂，估计宝宝们又晕菜了。那么我们就看看几种简单点的特例情况。
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2 任意永磁电机带纯电阻负载
假设所带的负载为纯电阻负载，即X=0，在这种负载条件下令式(9)(10)(11)中X=0得：
I= E0•(R2+Xq2)½/(R2+XdXq) (12)
U=E0•R(R2+Xq2)½/(R2+XdXq) (13)
ΔU=1－R(R2+Xq2)½/(R2+XdXq) (14)
由(14)式可见，只要合理设计电机的参数，满足一定的条件时，可以使得发电机的稳态电压调整率为0，也就是说，虽然永磁电机的励磁不可调，但只要针对负载条件合理地设计永磁电机参数，可以使得永磁发电机带负载时的电压与空载电压相等，而不发生电压跌落现象，经过推导这个条件就是：
Xq=2R2Xd/(R2－Xd2) (15)
而要想满足上述条件，最基本的设计应该满足Xd＜R且Xd<0.2Xq，后者不等式能否满足取决于永磁电机的设计，必须设计使直轴电抗小于交轴电抗的一半；而前者不等式能否满足则取决于负载条件，负载电阻必须满足R＞Xd。只有电机设计和负载都满足上述条件时，就总会有一个负载点使得电压调整率为零。特别强调的是，只有一个负载点电压调整率为零，而不是整个负载范围内电压调整率都为零。
以上是针对纯电阻负载所做的分析，如果是任意阻抗负载，则需要对(11)式进行分析，令其等于0来解方程，这个解起来非常复杂，老师就不在这里推导了，不嫌烦的宝宝可以自己去烧脑子推导吧。其实精确推导这些在实际工程中意义并不大，重要的是通过理论分析给我们电机设计提供一个方向性的指导，我们只要把电机设计得Xq尽量大，Xd尽量小，这样就有利于稳态电压调整率的减小。
3 表贴式永磁电机带任意阻抗负载
令式(9)(10)(11)中的Xd=Xq=Xt得：
I=E0/½ (16)
U=E0•(R2+X2)½/½ (17)
ΔU=1－(R2+X2)½/½ (18)
由于表贴式永磁电机交直轴电抗相等，就可以用一个等效电路来表示了，其等效电路如图2所示。显然对于表贴式电机，如果带感性负载(X＞0)，永远不可能有ΔU=0的情况，除非X<0，即发电机带容性负载，才可能使电压调整率为零，负载电压不跌落，这个条件就是X=-0.5Xt。如果满足这个条件，那么在所有负载下电压都是恒定的。
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4 表贴式永磁电机带纯电阻负载
令式(16)(17)(18)中的X=0得：
I=E0/(R2+Xt2)½ (19)
U=E0•R/(R2+Xt2)½ (20)
ΔU=1－R/(R2+Xt2)½ (21)
显然，这种情况永远不可能有ΔU=0。
5 永磁同步发电机独立运行时的最大功率
一台永磁发电机独立带负载运行时，并不是想带多大负载就能带多大负载，会有一个最大输出功率问题，这个最大输出功率也不是并网运行时那样功角θ=90度的情况，因为从图1相量图可以看出，独立带负载运行时永远不可能使功角为90度。
试想，当永磁电机开路时，电机处于空载运行状态，此时负载阻抗为无穷大，电流为0，输出功率为0；当永磁电机短路时，由于负载阻抗为0，虽然短路电流很大，但负载电阻为0，发电机输出功率仍然为0。那么在开路和短路两种极端情况之间至少有一个负载点使得输出功率最大，这个负载点是什么呢？首先我们看功率与负载阻抗的函数关系式：
P=I2R (22)
根据以上不同结构的电机及负载条件，有很多种电流表达式，考虑到其它情况推导过于复杂，这里老师只以表贴永磁电机带纯电阻负载为例，演示推导一下。将(19)式代入(22)式得：
P=E02R/(R2+Xt2) (23)
将功率P对负载电阻R求导并令其导数为0，即dP/dR=0得：
/(R2+Xt2)½=0
解上述方程得：R=Xt，即当负载电阻R与同步电抗Xt相等时，功率P取得最大值，将R=Xt代入式(23)得最大输出功率为：
Pmax=E02/2Xt (24)
以上是永磁同步发电机带独立运行的情况，宝宝们听懂了吗？下去慢慢消化吧！下课！
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